동차좌표 ( 同次座標, Homogeneous coordinate )

동차좌표란?

동차좌표를 사전에서 찾아보면, '사영기하학에서 무한원점의 불편한점을 고려해서 보통의 점과 같이 취급하기 위함' 이라 적어뒀다. 외계어인가 -_-;

일단 동차란 같은 차원이란 뜻이다. 비동차(inhomogeneous, 非同次) 좌표계 에서 무한대는 ∞ 라는 기호를 이용해서 표시하는데, 다른 원소들과 달리 일반적인 수가 아니다. 이를 일반적인 수로 표현하기 위해 차수를 높여 좌표의 표현력을 늘리기 위해 등장한 개념이다.

다시 말해 현재 차원의 점을 더 높은 차원의 공간상의 직선에 사상(mapping) 시킨것이 동차 좌표이다. 2차원의 점 (1, 2)는 원점에서 출발해 (1, 2, 1)를 통과하는 모든 3차원 공간상의 좌표와 같으며, 이것이 동차좌표이다.

다음 표를 보자 

inhomogeneous coordinate	homogeneous coordinate
0	(0, 1)
-7/3	(7, -3)
∞	(1, 0)
not a point	(0, 0)
(5, -7/3)	(5, -7/3, 1)
(∞, 0)	(1, 0, 0)
(0, ∞)	(0, 1,0)
(2, 3/4)	(8, 3, 4)
(-3∞, 2∞)	(-3, 2, 0)

위와 같이 일반적인 수로 표현이 안되던 것이 동차좌표에서는 표현 가능하게 되었다.

좌표계에서 무한한 값인 방향을 뜻하는 벡터(vector)와 점(vertex)을 동차좌표를 이용해 구분 표시할수 있다. 마지막 요소가 0이면 벡터를, 0이 아닌 다른 값이면 점을 의미한다.